Les systèmes dynamiques
En science, le temps joue un rôle particulier, et beaucoup de modèles visent à la reproduction d'une évolution au cours du temps d'un système particulier. Ce peut être les planètes autour du soleil, le mouvement des océans, les populations d'animaux, les marchés économiques, Les courants électriques dans un circuit...
On appellera de tels systèmes, des systèmes dynamiques. l'évolution de leur état est fonction du temps et de lui seul, à partir d'un état de départ bien déterminé. On peut donc représenter ses variables comme des fonctions du temps.
Deux approches sont alors possibles:
 | Soit on considère le temps s'écoulant continûment, il sera représenté par un nombre réel et les variables seront reliées par des équations différentielles |
| Soit on considère des instants particuliers en occultant les autres, cela revient à discrétiser le temps . On peut le représenter par un nombre entier (même si les instants ne sont pas répartis régulièrement) et les variables sont alors reliées par des suites itératives. |
Ces deux approches ne sont pas totalement sans relations et on peut penser que les deux objets mathématiques, équations différentielles et suites, sont reliés.
Relation entre équations différentielles et suites
itératives
L'espace des phases
L'idée de l'espace des phases est de regrouper tout ce qu'il faut savoir sur le système à un instant donné pour déterminer ce qu'il adviendra ultérieurement. Ce qui comprend, déja de quoi fixer l'état du système, c'est à dire autant de variables que le degré de liberté, autant de dérivés de variables que de variables, et enfin tous les paramètres définissant le système.
Cela correspond à un ensemble de valeurs numériques que l'on choisit de représenter comme un vecteur ou comme les coordonnées d'un point. Un des problème de cette représentation est que ces coordonnées peuvent être en nombre supérieur à trois, ce qui gène la visualisation.
On va tout d'abord enlever les paramètres du système indépendants du temps. Il peut
s'agir, par exemple, de la masse d'un système, d'une force constante...
On ne gardera que les variables et leurs dérivés par rapport au temps et les paramètres
fonctions du temps. En fait on n'est pas obliger de prendre un couple variable et dérivé
de cette variable identique.
Trajectoire dans l'espace des phases
Ensuite, le temps s'écoulant, les coordonnées de ce point vont changer. Le point va
se déplacer dans cette espace mathématique pour lequel le rapport avec le monde qui nous
entoure est très lointain, surtout pour celui qui ne pratique pas ce genre de
gymnastique de l'esprit. La courbe décrite par ce point s'appellera trajectoire dan
l'espace des phases ( dénommination qui peut entraîner une certaine confusion! ).
Tout ceci implique que la trajectoire ne passe q'une seule fois par un point donnée ou
que la trajectoire est fermée, c'est à dire repasse toujours par les même points, c'est
relié au caractère déterministe des théories physiques
Section de Poincarré
Poincaré a développé des méthodes de visualisation dans cet espace des phases qui sont très importantes pour l'étude du chaos, les sections de Poincaré. On ne visualise pas l'ensemble de la trajectoire, mais seulement ce qui se passe à des instants particuliers. Ces instants sont définis par une période, le fait qu'une variable ou un paramètre prennent une valeur particulière, ou encore d'autres conditions. C'est très intéressant pour la météorologie où on relève les température à une heure donnée, en biologie avec les rythmes journalier...