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L'automatique

L'automatique est plus une façon d'aborder les problèmes scientifiques et technologiques, qu'une branche de la physique s'intéressant à un phénomène particulier.

Elle y gagne, comme les mathématiques, un caractère universel. Et, comme les mathématiques, c'est une science, c'est à dire un ensemble de savoir, de connaissances. La science n'est effectivement pas seulement le concept qui permet de comprendre, c'est aussi la manière d'aborder et de résoudre le problème posé.

L'automatique ne classe pas les modèles scientifiques à l'aide de  leurs concepts physiques, mais en fonction du modèle mathématique choisi pour le résoudre. Un des buts de l'automaticien sera de choisir, parmi les modèles à sa disposition, celui qui semblera le plus adapté au problème. Cette approche est très fructueuse technologiquement et scientifiquement parlant car elle tend à ramener l'inconnu vers le connu à l'aide de critères comparatifs.

Modèle du premier ordre fondamental

Un des modèles les plus simple, et qui est familier à chacun de nous, est la proportionnalité de l'effet à la cause. Pourtant ce modèle est insuffisant dans un cas très concret, la mécanique.

La mécanique

Dans l'application de la mécanique à la vie quotidienne, l'effet est la vitesse de l'objet,  la cause est la force exercée sur l'objet.

Approche classique

On a pendant longtemps essayé de mettre en évidence une proportionnalité entre ces grandeurs. Cette recherche n'a pas été vaine car elle a permis, en soulignant le rôle de la masse d'inertie, de comprendre l'importance de la quantité de mouvement en mécanique.
Puis, les expériences contredisant ce fait, on a comparé la cause à la variation de l'effet, approche géniale qui a donnée la théorie de la mécanique classique. L'idée était en effet loin d'être évidente. Un modèle de force proportionnelle à la vitesse, pour les frottements de l'air par exemple, est tout à fait envisageable, et aurait pu perturber cette approche. On voit ici un guide pour l'esprit scientifique, commencer par chercher le simple dans le compliqué, le général dans le particulier.

Le rôle des mathématiques

Les mathématiques vont maintenant permettre la traduction du concept, la construction du modèle et sa résolution. On cantonne souvent, par ignorance, les mathématiques dans un rôle de simple outils de résolution de problème, alors que son importance est tout autre. qui affirmerait que le langage n'est qu'une traduction de la pensée, le langage construit la pensée tout autant qu'il la traduit (le langage de Pao J. Vance). On peut donc dire que, si le langage mathématique en est une des parties bien visible, les mathématiques sont bien plus qu'un simple mode de transcription.
L'outil le plus intéressant à notre disposition semble être l'équation différentielle, et on pourra dire que la cause, la force est proportionnelle à l'effet, la dérivée de la quantité de mouvement. Les unités seront alors choisies pour que le coefficient de proportionnalité soit égal à un.

Le premier ordre

Ces modèles simples de proportionnalité de l'effet ou de sa variation à la cause sont vite insuffisants, j'en prendrai deux exemples.

promenade en voiture

Le premier, toujours dans la mécanique. Quand on conduit une automobile, en ligne droite, la cause est la position de l'accélérateur, pour un rapport donné, et l'effet, la vitesse.
Au démarrage, c'est la variation de vitesse qui est causé par la position du pied.
En régime de croisière, c'est la vitesse qui dépend de la façon dont on appuie sur l'accélérateur.
Donc, pour une même cause, l'effet produit est différent.

Réchauffement d'un congélateur

La cause est ici la température extérieur et l'effet la température intérieur.
Pour un congélateur débranché, ou en panne, la température intérieur remontera d'autant plus vite que la température extérieur est élevée. La cause produit la variation de l'effet. Au bout d'un certain temps la température intérieur sera la même que la température extérieur, la cause produit l'effet.

Modélisation linéaire

Pour un modèle linéaire, on choisira le caractère proportionnel de la cause à l'effet ou à sa variation. Cette façon de faire, nous l'avons dit, a été à la base de la mécanique classique. Elle donne un très bon accord avec l'expérience dans de nombreux cas, et a le mérite d'avoir à disposition des théories mathématiques puissantes et bien rodées.
L'idée est la suivante: si on analyse les deux exemples précédents, on remarque deux phases. Une phase de variation où on peut appliquer la proportionnalité de la variation de l'effet à la cause, puis une phase permanente où la variation a cessée et où la proportionnalité entre cause et effet est possible. Pendant, ou du moins au début de la première phase, l'effet est presque nul (vitesse faible, écart entre la température du congélateur et sa température initiale négligeable). Pendant la seconde phase, la variation de l'effet est imperceptible.
On a donc l'un ou l'autre cas, et l'absence est représentée par zéro. Les mathématiques vont nous permettre de choisir, de traduire ceci dans un langage qu'elle pourra ensuite traiter. Il suffit de faire la somme des deux conséquences pour une même cause.
Nous aurons donc une cause égale à la somme de deux termes, l'un proportionnel à l'effet et l'autre à la dérivée de l'effet.

Utilisation

L'utilisation du modèle, en automatique, va donc passer par deux phases, une recherche théorique sur le modèle à l'aide des mathématiques, et une recherche de conditions d'applications.

Traitements mathématiques

Exemples d'applications