A quoi reconnaît-on le chaos déterministe?
Nous l'avons vu précédemment, le chaos déterministe est, avant tout, un ensemble de modèles possédant des propriétés communes et dont les solutions rappellent des phénomènes réputés complexes. Pour appliquer ces modèles au monde qui nous entoure, il faut plus que des ressemblances. La théorie va nous venir en aide pour nous dire ce qu'il faut regarder, observer, mesurer pour pouvoir classer un phénomène comme relevant d'un modèle chaotique déterministe.
Il est à noter que ces indices du chaos, que nous allons passer en revue, pourront, aussi, être utilisés pour déterminer si un modèle est chaotique.
La sensibilité aux conditions initiales
Un des signes du chaos, dans les modèles, est la sensibilité aux conditions initiales. c'est ce qui a remis en cause la prédictibilité des phénomènes déterministes. On l'a vu apparaître dans les équations de Lorenz.
Cette sensibilité doit faire intervenir une région de l'espace des phases assez importante. En effet le mouvement d'une bille placée au sommet d'un ballon est sensible aux conditions initiales, seulement si l'on reste proche du sommet.
D'un point de vue expérimental, ceci exige une bonne maîtrise des conditions de départ de manière à les reproduire presque à l'identique.
Les attracteurs étranges
La connaissance de l'attracteur dans l'espace des phases, et son caractère fractal permettent de classer un modèle comme chaotique. les équations de Lorenz possédaient, aussi, cette propriété.
D'un point de vue expérimental, cela nécessite:
 | de connaître la dimension de l'espace des phases |
| de choisir les variables de l'espace des phases. |
| de tracer et de représenter l'attracteur dans un espace qui peut être de dimension assez importante. Les sections de Poincaré auront toute leur utilité. |
Cette méthode a été utilisée avec succès dans des domaines variés: des cavités laser, des réactions chimiques, la turbulence dans les fluides, la biologie...
La progression vers le chaos
Dans les équations de Lorenz, comme dans le problème des trois corps de Poincaré, la résolution n'apporte pas toujours le chaos. Ce régime n'apparaît que pour certaines valeurs des paramètres. Pour caractériser le chaos, il peut être intéressant d'étudier l'apparition du chaos. ce que l'on appelle le scénario vers le chaos.
On distingue aujourd'hui trois scénarios théoriques d'évolution vers le chaos pour lesquels les chercheurs français ont été au premier plan. Toutes ces évolutions ont permis de classer certains phénomènes expérimentaux comme chaotiques déterministes. On obtient l'apparition du chaos en modifiant la valeur d'un paramètre, que ce soit de manière théorique ou expérimentale.
L'intermittence
Ce scénario a été décrit par Yves Pommeau ( directeur de recherche au CNRS dans les
laboratoires de l'école normale supérieur).
Il concerne un système, périodique durant une bonne partie du temps, que viennent
perturber des bouffées chaotiques. Ces perturbations apparaissent de manière
irrégulières. L'augmentation d'un paramètre produit l'augmentation de la fréquence des
perturbations, puis le chaos domine le comportement du système.
On a observé, expérimentalement ce scénario dans des expériences sur la convection des fluides et dans des réactions chimiques...
Le doublement de période
Ce scénario a été découvert, en même temps par Mitchell Feigenbaum et par des
chercheurs français Pierre Coullet ( institut non linéaire de Nice) et Charles Tresser
(IBM).
L'augmentation d'un paramètre provoque, pour un système périodique, l'apparition d'un
doublement de sa période. Puis la période est multipliée par 4, 8, 16 ... D'un
doublement au suivant, l'augmentation du paramètre est de plus en plus faible, et à
partir d'une certaine valeur le chaos apparaît.
L'augmentation du paramètre conduit ensuite à la réapparition de régime périodiques
intercalé dans des zones chaotiques.
On a observé ce scénario dan un grand nombre d'expériences comme l'apparition de la turbulence dans les fluides, Dans les chocs des masses tournantes avec les bâtis...
Apparition théorique du chaos.
Doublement de période expérimentale.
La quasi périodicité
Le troisième scénario fait intervenir, pour un système périodique l'apparition d'une deuxième période dont le rapport avec la première n'est pas rationnel. Ce régime est appelé quasi périodique. Il peut, de lui même ou avec l'apparition d'une troisième fréquence, donner un régime chaotique. David Ruelle (professeur à l'institut des hautes études théoriques et membre de l'académie des sciences) et Jean-Christophe Yoccoz (lauréat de la médaille Fields 94) ont contribué de manière importante à cette approche.
Ce scénario intervient quand on considère deux oscillateurs fortement couplés. Les variations du champ magnétique terrestre, le déroulement des séismes pourraient être expliquées par un modèle de ce genre...
